Câu 20. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $3$, $\widehat{A^{\prime }AB}=120^{\circ }$, $\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Tính giá trị $\overrightarrow{A^{\prime }M}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }N}$.

Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $O(0;0;0)$ thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm $A(896;2025;189)$ thuộc trụ thứ hai với tốc độ là $7,4\text{ (m/s)}$ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $4$ (tham khảo hình bên). Giá trị của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ bằng.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với điểm $A(1;2;0),B(2;-1;1)$ và điểm $C(a;b;c)$ thuộc trục hoành và $a>0$. Tổng $T=2a+3b+4c$ bằng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(2;3;-1)$ và $\vec{v}=(1;3;2)$. Độ dài của vectơ $\vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ là 4,5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).



Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ $x_B=550$, khi đó quãng đường $AB$ dài

Trong không gian $Oxyz$ cho 2 véc tơ $\vec{a}=(2;1;-1)$; $\vec{b}=(1;3;m)$. Tìm $m$ để $\vec{a}.\vec{b}=0$.