Câu 2. Các nhà thầu xây dựng một bức tường leo núi tại góc tường của một phòng tập thể thao. Trong không gian $Oxyz$, gốc $O(0;0;0)$ tại vị trí góc tường, các trục $Ox,Oy,Oz$ chứa cạnh tường, đơn vị trên trục tính bằng mét (tham khảo hình minh họa). Ba thanh chống $S_1,S_2,S_3$ của bức tường đều xuất phát từ $O$ và lần lượt có véc tơ chỉ phương $(1;0;0)$, $(0;1;0)$, $(0;0;1)$. Các điểm $A,B,C$ của bức tường nằm trên các thanh $S_1,S_2,S_3$. Bức tường nằm trên mặt phẳng $(P)$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;3;-12)$, $\vec{v}=(1;2;-7)$ và đi qua điểm $M(1;5;-1)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần II): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

- Ý a: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}=[\vec{u},\vec{v}]=(3;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;5;-1)$ có phương trình là $3(x-1)+2(y-5)+1(z+1)=0⟺3x+2y+z-12=0$. Do đó ý a sai (dấu $+12$ sai).
- Ý b: Mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$. Gọi $\alpha$ là góc nghiêng của bức tường so với mặt đất, ta có $\cos \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}\approx 0,2673⟹\alpha \approx 74,5^{\circ }>72^{\circ }$. Tiêu chuẩn an toàn không được thỏa mãn. Do đó ý b sai.
- Ý c: Giao điểm của $(P)$ với $Ox$ là $A(4;0;0)$ và với $Oy$ là $B(0;6;0)$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ có $OA=4$, $OB=6$. Diện tích $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12{\text{ m}}^2$. Do đó ý c đúng.
- Ý d: Thanh chống từ $O$ đến bức tường ngắn nhất chính là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$:
$d=d(O,(P))=\frac{|-12|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\frac{12}{\sqrt{14}}\text{ m}.$
Quãng đường xe trượt đi từ $N$ đến $O$ là $s={\int }_0^{T}4tdt=2T^2$. Cho $2T^2=\frac{12}{\sqrt{14}}⟹T=\sqrt{\frac{6}{\sqrt{14}}}\approx 1,266\approx 1,27\text{ giaˆy}$. Do đó ý d đúng.