Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x\cos 2xdx=a+b\pi$, với $a,b$ là các số hữu tỷ. Giá trị $S=a+2b$ bằng:

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $x\cdot f^{\prime }(x)\cdot \ln x+f(x)=2x^2,\forall x\in (1;+\infty )$ và $f(e)=e^2$. Tính tích phân $I={\int }_e^{e^2}\frac{x}{f(x)}dx$?

Câu 14. Biết ${\int }_1^{3}f(x)dx=3$ và ${\int }_1^{3}g(x)dx=-5$. Giá trị ${\int }_1^3[2f(x)+g(x)]dx$ bằng

Câu 1. Một người nông dân có một mảnh đất hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $8\text{ m}$. Ông ta định chia mảnh đất thành ba phần, bởi các parabol đi qua các đỉnh của hình vuông như hình vẽ, biết rằng đỉnh của parabol cách cạnh hình vuông $2\text{ m}$. Ông dự định trồng hoa trên phần diện tích giới hạn bởi các parabol và các cạnh $AB,DC$ của hình vuông, trồng cỏ trên phần diện tích còn lại. Chọn hệ trục $Oxy$ sao cho $A(-4;4),B(4;4),C(4;-4),D(-4;-4)$.

Câu 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có một con đường đi (phần được tô đậm) với kích thước được cho trong hình bên. Biết rằng đường cong $AB$ được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong $DC$ nhận được từ đường cong $AB$ bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên $2\text{ m}$. Chủ mảnh vườn quyết định đổ lớp bê tông dày $20\text{ cm}$ với giá tiền $1{\text{ m}}^3$ bê tông là $1080000$ đồng. Người chủ cần dùng bao nhiêu nghìn đồng để đổ bê tông con đường đó?

Nếu ${\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ thì ${\int }_{-1}^2\left[f(x)+2x\right]\mathrm{d}x$ bằng

Một người có miếng đất hình tròn có bán kính bằng $5\text{ m}$. Người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được $100$ nghìn. Tuy nhiên cần có $1$ khoảng trống để dựng $1$ cái chòi và để đồ dùng nên người này bớt lại $1$ phần đất nhỏ không trồng cây (phần màu trắng như hình vẽ), trong đó $AB=6\text{ m}$. Hỏi khi thu hoạch cây thì người này thu được bao nhiêu tiền (Kết quả làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?

[IMAGE:img_q19_circle]