Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số lẻ biết số chấm xuất hiện là số nguyên tố.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $\underset{-1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=8$; $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=10$. Giá trị của biểu thức $I=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$ có giá trị bằng

Vận tốc của một vật chuyển động được cho bởi hàm số $y=v(t)$, $0\le t\le 6$, trong đó $t$ được tính bằng giây, vận tốc $v(t)$ tính bằng $m/s$ có đồ thị như hình vẽ:



Giả sử thời điểm $t=0$ là lúc vật bắt đầu chuyển động. Sau 6 giây đầu tiên, vật đi được quãng đường bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $(d):\frac{x-9}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-8}{-1}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là

Cho $A,B$ là hai biến cố độc lập. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1)$, $B(2;1;1)$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $B$ có phương trình là $x+by+cz+d=0$, khi đó ta có $b+c+d$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+3y+2z-1=0$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}$, ${\Delta }_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}$.

Cho hàm số $y=e^x$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Gọi $(H)$ là miền giới hạn bởi đồ thị $(C)$, trục hoành và các đường thẳng $x=-2$; $x=1$. Đường thẳng $x=k$ $(-2<k<1)$ chia hình $(H)$ thành hai phần $(H_1),(H_2)$ như hình vẽ với diện tích lần lượt là $S_1,S_2$.

Chủ của một cửa hàng sửa xe máy được biết rằng, khi nhận được một cuộc gọi từ khách hàng báo là xe không nổ được máy, thì xác suất để một số vấn đề xảy ra đối với chiếc xe đó được liệt kê trong bảng sau (giả sử luôn chỉ có một vấn đề xảy ra với chiếc xe đó):



Ngoài ra, chủ tiệm sửa xe còn biết được rằng khách hàng vẫn cố nổ máy khi xe đang gặp các vấn đề trên. Gọi $E$ là biến cố “Xe nổ được máy”, ta có xác suất có điều kiện sau:

$$P\left(E|A_1\right)=0,9;P\left(E|A_2\right)=0;P\left(E|A_3\right)=0,3;P\left(E|A_4\right)=0;P\left(E|A_5\right)=0,2$$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(-2;2;3)$, mặt phẳng $(P):x+2y-3z+6=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2=25$.

Một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở khu vực $X$ với xác suất $0,6$. Nếu nó không xuất hiện ở khu vực $X$ thì nó sẽ xuất hiện ở khu vực $Y$. Khi máy bay của đối phương xuất hiện ở khu vực $X$ hoặc $Y$ thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Xét hai phương án tác chiến sau:
- Phương án 1: Nếu máy bay xuất hiện tại khu vực $X$ thì bắn 2 tên lửa.
- Phương án 2: Nếu máy bay xuất hiện tại khu vực $Y$ thì bắn 1 tên lửa.
Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi tên lửa là $0,8$ và các lần bắn là độc lập. Máy bay bị hạ nếu trúng ít nhất một tên lửa. Tính xác suất để máy bay của đối phương xuất hiện ở khu vực $X$, biết rằng sau trận chiến máy bay của đối phương đã không bị hạ. (Kết quả quy tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2;-1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$, song song trục $Oy$ và vuông góc mặt phẳng $(Q):2x-y+3z-9=0$. Phương trình của mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+by+cz+2=0$. Tính tích các hệ số $a.c$.

Một chiếc lều cắm trại có đáy là hình chữ nhật, kích thước là: chiều dài $4m$, chiều rộng $3m$ và chiều cao $1,2m$. Các cạnh bên của lều là các parabol giao nhau tại đỉnh của mỗi parabol đó. Hỏi thể tích phần không gian bên trong lều bằng bao nhiêu mét khối? (Kết quả quy tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(-3;0;0)$, $B(0;0;8)$ và $C(0;-9;0)$. Phương trình mặt cầu $(S)$ đi qua bốn điểm $O$, $A$, $B$, $C$ có dạng:
$$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.$$
Tính giá trị của biểu thức $T=4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)$.

Một lớp học có 20 học sinh đăng kí thi vẽ, 15 học sinh đăng kí thi cờ vua và 5 học sinh đăng kí thi cả hai môn trên. Biết mỗi học sinh trong lớp đăng kí thi ít nhất một môn vẽ hoặc cờ vua. Chọn một học sinh bất kì, biết học sinh đó đăng kí thi vẽ. Tính xác suất học sinh được chọn đăng kí thi cờ vua.

Xét Trái Đất trong không gian $Oxyz$, với $O$ là tâm Trái Đất, tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oz$ chứa điểm cực Bắc $N$, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, 1 đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với 6371 km trên thực tế. Như vậy, trong không gian Oxyz, bề mặt Trái Đất có phương trình: $x^2+y^2+z^2=1$.



Biết vị trí điểm $P$ trên mặt đất có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{0}N,{\beta }^{0}E$ $(0<\alpha <90^0,0<\beta <180^0)$ có tọa độ là $P\left(\cos {\alpha }^0\cos {\beta }^0;\cos {\alpha }^0\sin {\beta }^0;\sin {\alpha }^0\right)$

Tính khoảng cách trên mặt đất (đơn vị km) từ vị trí $A$ là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí $B$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $30^{0}N,45^{0}E$ (Kết quả quy tròn đến hàng đơn vị).