Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a,b]$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là:

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\sin x+\cos x$ và $F(0)=2$ thì $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Biết rằng $F(1)=9,F(2)=5$. Tính ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$.

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=7x^6+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-2$ là:

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi các đường: $x=0,x=1,y=0,y=e^x$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo nên khi quay $D$ quanh trục $Ox$ là:

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0)=1$, $f^{\prime }(x)$ liên tục trên đoạn $[0,3]$ và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=9$. Tính $f(3)$.

Trong không gian $Oxyz$, biết đường thẳng $(d):\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2}$ cắt mặt phẳng $(P):x-y+2z+3=0$ tại điểm $M(a;b;c)$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-x,x=-1,x=2$ và trục hoành. Gọi $S$ là diện tích của $D$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$, đường thẳng $(d):\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và điểm $I(1;0;-3)$.

Cho $F(x)$ là 1 nguyên hàm của hàm số $f(x)=4x^3+1$ và $F(0)=1$. Tính giá trị của $F(1)$.

Một ô tô đang chạy với vận tốc $10m/s$ thì tăng tốc, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc $a(t)=2t-4\left(m/s^2\right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc. Quãng đường ô tô đi được sau 15 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét?

Đồ thị trong hình dưới đây là của hàm số $y=f(x)$. Biết rằng $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=8$; $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=-3$. Tính diện tích $S$ của phần hình phẳng tô đậm trong hình vẽ.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $M(1;0;0)$ và song song với mặt phẳng $(\alpha ):2x-y-1=0$ có dạng $-x+by+cz+d=0$. Tính $b+c-3d$.

Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày $(0\le t\le 10)$. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, trong đó $k$ là hằng số. Sau một ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn. ( Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calcucus 10e, Cengage 2014 ). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f(x)-2x\right]dx=1$. Tính $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.

Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{x-1}{x^2}dx$.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=1$ quanh trục hoành.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100m$, chiều rộng $OD=60m$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-z+5=0$ và đường thẳng $(d):\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{-2}$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $(\Delta )$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, cắt và vuông góc với đường thẳng $(d)$.