Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AB$ bằng góc giữa đường thẳng $SC$ và

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m$ là một số nguyên và $n$ là số nguyên dương. Lũy thừa của $a$ với số mũ $r$, ký hiệu $a^r$, được xác định bởi

Giá trị của $10^{{\log }_{10}10}$ bằng

Trong không gian cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$. Biết $a\perp (P)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?

Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức $a^{\sqrt{2}}.a^{\sqrt{2}}$ bằng

Cho tứ diện $OABC$ có $OA$ vuông góc với cả $OB$ và $OC$ (tham khảo hình vẽ). Mặt phẳng $(OAC)$ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

Cho $a$, $b$, $x$ là các số thực dương khác 1. Biết ${\log }_{a}x=2$ và ${\log }_{b}x=8$.

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$, cạnh đáy bằng $a\sqrt{3}$ và $SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (tham khảo hình vẽ).

Số lượng cá thể vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy được cho bởi công thức $P(t)=50\cdot 10^{kt}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm bắt đầu nuôi cấy, $k$ là hằng số. Giả sử, sau 1 giờ thì mẻ có 100 cá thể vi khuẩn.

Xác suất để chữ số $d$ là chữ số đầu tiên của một bộ số được cho bởi công thức $P=\log \frac{d+1}{d}$.

(1,0 điểm) Cho hàm số $y=a^x$ ($a$ là số thực dương khác 1) có đồ thị là đường cong trong hình bên.



a) Nêu tập xác định và tập giá trị của hàm số đã cho.

b) Hàm số $y=a^x$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

c) Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

(1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SB\perp (ABCD)$. Đường thẳng $AC$ có vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$ hay không? Giải thích.

(0,5 điểm) Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc $f(x)$ (đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm $x$ ngày ($x\ge 0$) kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn $f(x)=e^{mx+n}$ ($x\ge 0$) trong đó $m$, $n$ là hằng số khác không. Do nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm $x=6$ (ngày); $x=12$ (ngày) nhận được kết quả lần lượt là 2 mg/lít; 1 mg/lít. Sau ít nhất $x_0$ (ngày) (với $x_0$ nguyên dương) kể từ lúc sử dụng thuốc, nồng độ thuốc tồn dư trong nước sẽ nhỏ hơn 0,25 mg/lít. Giá trị của $6m+20x_0+\ln 2$ bằng bao nhiêu?

(0,5 điểm) Bạn Nam thiết kế một mô hình gồm hai phần (xem hình vẽ):

+ Phần mái mô hình dạng hình chóp $S.ABCD$ có $SA=SB=SC=SD=\sqrt{7}$;

+ Phần thân mô hình dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=4$, $AD=2$ và $B{B}^{\prime }=3$.

Số đo của góc nhị diện $[S,AB,B^{\prime }]$ bằng bao nhiêu độ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?