Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tối ưu thực tế bằng đạo hàm (Toán học Lớp 12)

Câu 4. Một khối gỗ có dạng hình chóp $S.ABCD$ với đáy là hình vuông cạnh $2\text{ dm}$, mặt bên $(SAB)$ vuông góc với mặt đáy và tam giác $SAB$ đều. Nghệ nhân muốn chế tác khối gỗ này thành một vật trang trí có dạng hình hộp chữ nhật với $4$ đỉnh nằm trên các cạnh $SA,SB,SC,SD$ và bốn đỉnh còn lại nằm trong mặt phẳng đáy. Thể tích lớn nhất của khối trang trí này bằng bao nhiêu ${\text{dm}}^3$? Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Cho $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ là hàm chi phí và $p(x)=1700-7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất (tính theo đơn vị hàng hóa) sẽ tối đa hoá lợi nhuận.

Câu 18. Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá $30000$ đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình $3000$ chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá $30000$ đồng mà cứ tăng giá thêm $1000$ đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn $100$ chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là $18000$. Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất.

Bạn An dùng đoạn dây kim loại dài $2\text{ m}$ để tạo thành hình $PQRST$ (như hình vẽ dưới đây), trong đó $PQST$ là một hình chữ nhật và $QRS$ là một nửa đường tròn. Gọi diện tích phần hình phẳng được bao bởi hình $PQRST$ là $A{\text{ (m}}^2\text{)}$. Biết $TP=SQ=x\text{ (m)}$ và $PQ=y\text{ (m)}$. Để diện tích $A$ lớn nhất thì giá trị của $x$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)