Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(-4;1)$, $B(2;4)$, $C(2;-2)$.

**a) Tọa độ các vectơ, chu vi, góc A:**
- $\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)$
- $\overrightarrow{BC}=(2-2;-2-4)=(0;-6)$
- $\overrightarrow{AC}=(2-(-4);-2-1)=(6;-3)$

Độ dài: $AB=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$; $BC=6$; $AC=\sqrt{6^2+(-3{)}^2}=3\sqrt{5}$.

Chu vi tam giác ABC: $P=3\sqrt{5}+6+3\sqrt{5}=6\sqrt{5}+6$.

$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot |AC|}=\frac{6\cdot 6+3\cdot (-3)}{3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{36-9}{45}=\frac{3}{5}$.

Vậy $A=\arccos \frac{3}{5}\approx 53^{\circ }{8}^{\prime }$.

**b) Trọng tâm và trung điểm:**
- Trọng tâm $G=\left(\frac{-4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3}\right)=(0;1)$.
- Trung điểm đoạn AB: $\left(\frac{-4+2}{2};\frac{1+4}{2}\right)=\left(-1;\frac{5}{2}\right)$.

**c) Trực tâm H:**
Vì $B$ và $C$ có cùng hoành độ 2 nên $BC$ là đường thẳng đứng $x=2$, do đó đường cao xuất phát từ $A$ vuông góc với $BC$ là đường ngang $y=1$.

Vectơ $\overrightarrow{AC}=(6;-3)$ có hệ số góc của $AC$ là $-\frac{1}{2}$, nên đường cao xuất phát từ $B$ vuông góc với $AC$ có hệ số góc $2$: $y-4=2(x-2)\iff y=2x$.

Giao với $y=1$: $x=\frac{1}{2}$. Vậy $H=\left(\frac{1}{2};1\right)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{9}{2};0\right)$ vuông góc $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$ ✓; $\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{3}{2};-3\right)$, $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}\cdot 6+(-3)(-3)=-9+9=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 31: Trong hệ Oxy cho $A(2;-3)$, $B(4;3)$.

a) Trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ (với $O(0;0)$):
$$x_G=\frac{x_O+x_A+x_B}{3}=\frac{0+2+4}{3}=2,y_G=\frac{y_O+y_A+y_B}{3}=\frac{0+(-3)+3}{3}=0.$$
Vậy $G(2;0)$.

b) Gọi $M(x;0)$ thuộc trục hoành. Tam giác $ABM$ cân tại $M$ khi $MA=MB$.
$$M{A}^2=(x-2{)}^2+(0+3{)}^2=(x-2{)}^2+9,$$
$$M{B}^2=(x-4{)}^2+(0-3{)}^2=(x-4{)}^2+9.$$
Cho $M{A}^2=M{B}^2$:
$$(x-2{)}^2=(x-4{)}^2\Rightarrow x^2-4x+4=x^2-8x+16\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3.$$
Vậy $M(3;0)$. (Kiểm tra: $MA=MB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, thỏa mãn.)

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ véc tơ $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(7-5;8-3)=(2;5)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$ có tọa độ $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$. Với $A(3;5)$, $B(1;2)$, $C(5;2)$: $x_G=\frac{3+1+5}{3}=3$, $y_G=\frac{5+2+2}{3}=3$. Vậy $G(3;3)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của $AB$: $x_I=\frac{2+4}{2}=3$, $y_I=\frac{-3+7}{2}=2$. Vậy $I(3;2)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-(-1);0-3)=(3;-3)$. Gọi $D=(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}=(6-x;2-y)=(3;-3)$, suy ra $x=3$, $y=5$. Vậy $D=(3;5)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(6-2;0-(-4))=(4;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(m-2;4-(-4))=(m-2;8)$. Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức $\frac{m-2}{4}=\frac{8}{4}=2$, suy ra $m-2=8\Rightarrow m=10$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E$ nằm trên đoạn $BC$ với $BE=2EC$ nên $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$, tức $E$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $k=2$. Công thức: $E=\frac{B+2C}{3}$. Tọa độ: $x_E=\frac{-3+2\cdot 1}{3}=\frac{-1}{3}$, $y_E=\frac{6+2\cdot (-2)}{3}=\frac{2}{3}$. Vậy $E\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, khớp phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$. Tích có hướng: $(-2)\cdot 0-(-7)\cdot 3=21\ne 0$ nên ba điểm không thẳng hàng → Đúng.
b) Trọng tâm $G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$ → Đúng.
c) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(-2+1-(-4);5+5-(-2))=(3;12)$. Vì $(3;12)\ne (3;10)$ → Sai.
d) $\overrightarrow{CA}=(-3;0)$, $\overrightarrow{CB}=(-5;-7)$, $\cos \widehat{ACB}=\frac{(-3)(-5)+0\cdot (-7)}{3\sqrt{74}}=\frac{15}{3\sqrt{74}}=\frac{5}{\sqrt{74}}\approx 0,581$, suy ra $\widehat{ACB}\approx 54,5^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$, tích có hướng $(-2)\cdot 0-(-7)\cdot 3=21\ne 0$ nên ba điểm không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ suy ra $D=A+C-B=(3;12)\ne (3;10)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{ACB}=\frac{5}{\sqrt{74}}\approx 0,581$ nên $\widehat{ACB}\approx 54,5^{\circ }\ne 45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=-\vec{i}+3\vec{j}$ thì $\vec{a}=(-1;3)$, đúng. Với $\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}$ thì $\vec{b}=(1;2)$, đúng. $\vec{a}+\vec{b}=(-1+1;3+2)=(0;5)\ne (1;5)$, sai. $\vec{a}-\vec{b}=(-1-1;3-2)=(-2;1)\ne (2;1)$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=-\vec{i}+3\vec{j}=(-1;3)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{b}=\vec{i}+2\vec{j}=(1;2)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(-1+1;3+2)=(0;5)\ne (1;5)$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}-\vec{b}=(-1-1;3-2)=(-2;1)\ne (2;1)$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các cạnh: $A{B}^2=(0-4\sqrt{3}{)}^2+(3+1{)}^2=48+16=64\Rightarrow AB=8$; $A{C}^2=(8\sqrt{3}-4\sqrt{3}{)}^2+(3+1{)}^2=48+16=64\Rightarrow AC=8$; $BC=8\sqrt{3}$. a) $AC=8$ đúng. b) $AB=AC=8\ne BC$ nên tam giác cân tại $A$, không cân tại $B$ → sai. c) Chiều cao từ $A$ xuống $BC$ (đường thẳng $y=3$) bằng $4$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}$ → đúng. d) $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{64+192-64}{2\cdot 8\cdot 8\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=30^{\circ }$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{C}^2=(8\sqrt{3}-4\sqrt{3}{)}^2+(3+1{)}^2=48+16=64\Rightarrow AC=8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=AC=8$ và $BC=8\sqrt{3}$, tam giác cân tại $A$ chứ không cân tại $B$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC=8\sqrt{3}$, chiều cao từ $A$ đến đường thẳng $BC$ ($y=3$) bằng $4$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{192}{128\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{ABC}=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1-(-2);-6-3)=(3;-9)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2.
1) Cho A(0;3), B(−2;4), C(8;4).
a) Gọi M(m;n). Ta có $\overrightarrow{AM}=(m;n-3)$, $\overrightarrow{MB}=(-2-m;4-n)$, $\overrightarrow{AB}=(-2;1)$. Phương trình $\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{AB}$ cho hệ: $m+3(2+m)=-10$ và $(n-3)+3(4-n)=5$, tức $4m+6=-10\Rightarrow m=-4$; $4n-15=5\Rightarrow n=5$. Vậy $M(-4;5)$.
b) $AB=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$; $BC=10$; $AC=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$. Chu vi $=\sqrt{5}+10+\sqrt{65}\approx 20,47$.
c) K(k;0) thuộc trục hoành. Tam giác KBC vuông tại K khi $\overrightarrow{KB}\cdot \overrightarrow{KC}=0$: $(-2-k;4)\cdot (8-k;4)=(-2-k)(8-k)+16=k^2-6k=0\Rightarrow k=0$ hoặc $k=6$. Vậy $K(0;0)$ hoặc $K(6;0)$.
2) Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(3a;0)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)$. Vì $AM=x$ nên $M(x;0)$; vì $AP=a=\frac{1}{3}AC$ nên $P\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$; vì $BN=a=\frac{1}{3}BC$ nên $N\left(\frac{5a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Điều kiện $AN\perp MP$: $\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{MP}=0$ với $\overrightarrow{AN}=\left(\frac{5a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(\frac{a}{2}-x;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Tích: $\frac{5a}{2}\left(\frac{a}{2}-x\right)+\frac{3a^2}{4}=0\Rightarrow \frac{5a^2}{4}-\frac{5ax}{2}+\frac{3a^2}{4}=0\Rightarrow 2a^2=\frac{5ax}{2}\Rightarrow x=\frac{4a}{5}$. Thỏa mãn $0<x<3a$. Vậy $x=\frac{4a}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i},\vec{j}$ là các vectơ đơn vị trên trục $Ox$, $Oy$ nên $\vec{u}=3\vec{i}-4\vec{j}$ có tọa độ $\vec{u}=(3;-4)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của $AB$: $x_I=\frac{2+4}{2}=3$, $y_I=\frac{-3+7}{2}=2$. Vậy $I(3;2)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=-3\vec{i}+2\vec{j}=(-3;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ $\vec{u}=3\vec{j}-2\vec{i}=-2\vec{i}+3\vec{j}$ nên tọa độ là $\vec{u}=(-2;3)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 45: a) $\overrightarrow{MN}=N-M=(-2-4;0-(-3))=(-6;3)$, chọn C. b) $MN=\sqrt{(-6{)}^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm I của AB: $x_I=\frac{-2+5}{2}=\frac{3}{2}$, $y_I=\frac{0+(-4)}{2}=-2$. Vậy $I\left(\frac{3}{2};-2\right)$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: $x_G=\frac{1+0+2}{3}=1$, $y_G=\frac{5+(-2)+6}{3}=3$. Vậy $G(1;3)$, chọn đáp án B.