Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Liên tục tại điểm và hàm từng đoạn (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) $g(x)=\frac{2x}{x-3}$ không xác định tại $x=3$ (mẫu số bằng 0), nên $g$ không liên tục tại $x_0=3$ → Sai. b) Với $x\ne 3$: $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$, do đó ${\lim }_{x\to 3}f(x)=3+3=6$ → Đúng. c) Vì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=6=f(3)$ nên $f$ liên tục tại $x_0=3$ → Đúng. d) Với $x\ne 3$: $y=f(x)-g(x)=x+3-\frac{2x}{x-3}$. Ta có ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{2x}{x-3}=+\infty$, ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{2x}{x-3}=-\infty$, nên giới hạn của $y$ khi $x\to 3$ không tồn tại; hàm không liên tục tại $x_0=3$ → Sai. Kết quả khớp bảng Đúng/Sai trên đề (a: Sai, b: Đúng, c: Đúng, d: Sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)$ không xác định tại $x=3$ nên không liên tục tại đó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 3$, $f(x)=x+3$, nên ${\lim }_{x\to 3}f(x)=6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3}f(x)=6=f(3)$ nên $f$ liên tục tại $x_0=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3}\frac{2x}{x-3}$ không tồn tại (trái $-\infty$, phải $+\infty$), nên $f-g$ không liên tục tại $x_0=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=3$ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=3m-3$. Với $x\ne 3$: $\frac{3x^2-27}{2x^2+4x-30}=\frac{3(x-3)(x+3)}{2(x-3)(x+5)}=\frac{3(x+3)}{2(x+5)}$. Suy ra $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\frac{3\cdot 6}{2\cdot 8}=\frac{18}{16}=\frac{9}{8}$. Do đó $3m-3=\frac{9}{8}\Rightarrow 3m=\frac{33}{8}\Rightarrow m=\frac{11}{8}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $2x^2-3x-2=(x-2)(2x+1)$, nên ${\lim }_{x\to 2}\frac{2x^2-3x-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(2x+1)=5$. Vậy $m=5$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 3 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$: $f(-1)=2025(-1)+2026=1$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}={\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2}{\sqrt{3+2x}+1}\cdot \frac{x+1}{x+1}=\frac{2}{2}=1$ (nhân liên hợp). Vậy hàm số liên tục tại $x=-1$, mệnh đề A đúng. Với $x>-1$, hàm $\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}$ liên tục trên $(-1;+\infty )$ vì mẫu $x+1\ne 0$, nên hàm liên tục tại $x=0$ và $x=1$: mệnh đề B sai, D đúng. Với $x\le -1$, hàm bậc nhất $2025x+2026$ liên tục, nên liên tục tại $x=-5$: C đúng. Mệnh đề sai là B.