Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bất phương trình logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x>0\iff x<0$. Đặt $t={\log }_3(-x)$. Khi đó ${\log }_{\sqrt{3}}(-x)=\frac{{\log }_3(-x)}{{\log }_3\sqrt{3}}=\frac{t}{1/2}=2t$ và ${\log }_{1/3}(-x)=-t$. Bất phương trình trở thành: $t^2-2(2t)-2(-t)+1>0\iff t^2-4t+2t+1>0\iff t^2-2t+1>0\iff (t-1{)}^2>0\iff t\ne 1$. Vậy ${\log }_3(-x)\ne 1\iff -x\ne 3\iff x\ne -3$. Kết hợp điều kiện $x<0$, tập nghiệm là $S=\{x\in \mathbb{R}:x<0,x\ne -3\}=(-\infty ;0)\setminus \{-3\}$. Kiểm tra: tại $x=-3$, biểu thức $=1-4+2+1=0$, không thỏa; tại $x=-1$: $0-0-0+1=1>0$ thỏa. Kết quả đúng.

Chọn C
Đặt t = 6 a , do a  0 $\Rightarrow$ t  0.
Bất phương trình trở thành: log 6 ( t 3 + t 2 )  log 3 t 2 $\iff$ log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2  0.

Xét hàm số: f ( t ) = log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2 , t  0.

3t 2 + 2t 2t
Khi đó, f ' ( t ) = 3 2 - 2  0, t  0.
( t + t ) ln 6 t ln 3
Suy ra hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0
Suy ra t = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình f ( t ) = 0.
Yêu cầu bài toán
f ( t )  0 $\iff$ f ( t )  f ( 3) $\iff$ 0  t  3 (do hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0 ).
Suy ra 6 a  3 $\iff$ a  36 . Vì a nguyên dương nên có 36 - 1 số nguyên dương a thỏa yêu cầu bài
toán.

Điều kiện: $x<225$. Đặt $t=\sqrt{225-x}>0$, bất phương trình trở thành $2{\log }_{7}t-{\log }_3(t+2)<0$. Xét $f(t)=2{\log }_{7}t-{\log }_3(t+2)$ trên $(0;+\infty )$, ta có $f^{\prime }(t)=\frac{2(t+2)\ln 3-t\ln 7}{t(t+2)\ln 3\ln 7}=\frac{t(\ln 9-\ln 7)+4\ln 3}{t(t+2)\ln 3\ln 7}>0,\forall t>0$. Do đó $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $f(7)=2-2=0$, suy ra $f(t)<0\iff 0<t<7\iff 0<225-x<49\iff 176<x<225$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{177;178;\dots ;224\}$, có $48$ số nguyên $x$. Chọn B.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 13), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án B.

Vì $a>0\Rightarrow a+1>1$, bất phương trình tương đương $3a^2+2b^2-6b+6\le (a+1{)}^2\iff 2a^2-2a+\frac{1}{2}+2{\left(b-\frac{3}{2}\right)}^2\le 0\iff 2{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+2{\left(b-\frac{3}{2}\right)}^2\le 0\Rightarrow a=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}\Rightarrow a+b=2$.