Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn có phương trình ${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{13}{6}\right)}^2=\frac{65}{18}$. Gọi $BD,CE$ là các đường cao của tam giác $ABC$, tọa độ hai điểm $D(2;1),E\left(\frac{13}{10};\frac{19}{10}\right)$. Biết điểm $A$ có tung độ là số nguyên và $B(x_B;y_B)$. Giá trị của biểu thức $T=x_B-y_B$ bằng

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I\left(\frac{5}{2};\frac{13}{6}\right)$ và bán kính $R=\sqrt{\frac{65}{18}}$.
Trong tam giác $ABC$, bán kính $R$ vuông góc với đoạn $DE$ tại tiếp tuyến hoặc theo tính chất hình học trực tâm:
Đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ và trực tâm $H$ có mối quan hệ với đường tròn Euler và đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCDE$ hoặc $ADHE$.
Tọa độ điểm $A$ nằm trên đường tròn $(C)$ và có tung độ nguyên, giải hệ tọa độ tìm được $A(1;3)$ và tọa độ đỉnh $B$ là $B(1;3)$ hoặc $B(0;2)$, suy ra $T=x_B-y_B=-2$. Chọn C.