Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $m$ sao cho phương trình $\cos 3x+\sqrt{2-{\cos }^{2}3x}=m(1+\sqrt{2-{\cos }^{2}3x})$ có nghiệm. Số phần tử của $S$ là

Đặt $t=\cos 3x$, với $x\in \mathbb{R}⟹t\in [-1;1]$.
Phương trình trở thành:
$t+\sqrt{2-t^2}=m(1+\sqrt{2-t^2})⟺m=\frac{t+\sqrt{2-t^2}}{1+\sqrt{2-t^2}}$.
Xét hàm số $f(t)=\frac{t+\sqrt{2-t^2}}{1+\sqrt{2-t^2}}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Đặt $u=t+\sqrt{2-t^2}$.
Vì $t\in [-1;1]$, đặt $t=\sqrt{2}\sin \alpha$ với $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$.
Khi đó $u=\sqrt{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )=2\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\in [0;2]$.
Mặt khác $u^2=t^2+2-t^2+2t\sqrt{2-t^2}=2+2t\sqrt{2-t^2}$.
Khảo sát giá trị của $m$ cho thấy $m\in [0;1]$, trong đó chỉ có đúng 1 giá trị nguyên là $m=1$ (hoặc khảo sát hàm số xác định miền giá trị). Do đó tập $S$ có đúng 1 phần tử. Chọn B.