Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có điểm $M(2;0)$ là trung điểm của cạnh $AB$. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ đỉnh $A$ lần lượt có phương trình là $7x-2y-3=0$ và $6x-y-4=0$. Giả sử phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ có dạng $ax+by-4=0$ (với $a,b\in \mathbb{Z}$). Tính giá trị của biểu thức $S=a+b$.

Có nhà hai nhà $A,B$ cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai nhà đó đến bờ sông lần lượt là $OA=300m$, $BP=400m$. Người ta đo được $OP=700m$ như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm cạnh bên bờ sông cho hai nhà sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $OP$ sao cho tổng khoảng cách từ hai nhà đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Hãy tìm khoảng cách từ M đến O.

Cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-y+2=0$ và ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2+t\end{array}$. Khi đó:

Bạn An đang ở biển và tham gia một trò chơi. Mỗi người chơi sẽ di chuyển từ vị trí xuất phát là điểm $A$ đến vị trí đích là $B$ trên biển, mà quá trình di chuyển phải chạm vào bờ biển một lần. Hãy giúp bạn An xác định vị trí chạm vào đường bờ biển để khoảng cách di chuyển là ngắn nhất. Biết rằng trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ $Oxy$), hai điểm $A,B$ có tọa độ là $A(2;1)$ và $B(9;6)$, đường thẳng bờ biển có phương trình $\Delta :x-y+1=0$. Điểm $M(a;b)$ là điểm chạm cần tìm. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x-y+1=0$, một véc tơ pháp tuyến của $d$ là

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x-y+1=0$, một véc tơ pháp tuyến của $d$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:3x+y-2=0$. Tọa độ của một vecto pháp tuyến của đường thẳng $d$ là: