Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hình bình hành $ABCD$ có $AC=2AB$. Phương trình đường chéo $(BD):x-4=0$. Gọi $E\left(\frac{5}{2};7\right)$ là điểm thuộc đoạn $AC$ thỏa mãn $AC=4AE$, gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Biết điểm $M$ nằm trên đường thẳng $2x+y-18=0$ và $S_{BEDC}=36$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết tung độ $y_B<2$?

Ta chứng minh $EM\perp BD$.



Thật vậy, vì $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$ do đó ta có $\Delta ABE\sim \Delta ACB$.

Vậy $BC=2BE$ mà $BC=2BM$ do đó $\Delta EBM$ cân tại $B$.

Mặt khác, $IE=\frac{1}{2}IA=\frac{1}{2}AB,IM=\frac{1}{2}AB$ (đường trung bình $\Delta ABC$).

Vậy $IB$ là đường trung trực của $EM$. Do vậy $EM\perp BD$.

Phương trình đường thẳng $EM$ qua $E$ và vuông góc với $BD$ là $(EM):y=7$.

Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}2x+y-18=0\\ (EM):y=7\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{11}{2};7\right)$.

Như vậy ta có $ME=3$.

Mặt khác
$$S_{BEDC}=2S_{\Delta BEC}=4S_{\Delta BEM}\Rightarrow d_{\left(B;(EM)\right)}\times ME=18\Rightarrow d_{\left(B;(EM)\right)}=6.$$

Gọi tọa độ tham số điểm $B(4;b)$ ta có $d_{\left(B;(EM)\right)}=\frac{\left|b-7\right|}{1}=6\Rightarrow b=13\vee b=1$.

Vì $B$ có tung độ bé hơn 2 nên ta chọn $B(4;1)$.

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.