Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có tâm là $I(1;0)$, bán kính $R$ và điểm $M(6;-5)$ nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng $d:3x+y-13=0$ đi qua điểm $M$ và cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $MB=3MA$. Tính bình phương độ dài bán kính $R$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x+y-13=0$ đi qua $M(6;-5)$ (kiểm tra: $18-5-13=0$), có vectơ chỉ phương $\vec{u}(1;-3)$. Điểm trên $d$: $P(t)=(6+t;-5-3t)$. Thay vào phương trình đường tròn $(x-1{)}^2+y^2=R^2$: $(5+t{)}^2+(-5-3t{)}^2=R^2\iff 10t^2+40t+50-R^2=0$ với hai nghiệm $t_A,t_B$. Theo Vi-ét: $t_A+t_B=-4$, $t_A{t}_B=\frac{50-R^2}{10}$. Vì $M$ nằm ngoài đường tròn nên $A,B$ cùng phía so với $M$ trên $d$, do đó $t_A,t_B$ cùng dấu. Kết hợp $MB=3MA$ suy ra $t_B=3t_A$ (cùng dấu). Suy ra $4t_A=-4\Rightarrow t_A=-1,t_B=-3$. Khi đó $t_A{t}_B=3=\frac{50-R^2}{10}\Rightarrow R^2=50-30=20$. Vậy $R^2=20$, khớp với bảng đáp án Phần III, Câu 3, Mã đề 1002: 20.