Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-2+t\\ z=1+3t\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{-2}$. Mặt phẳng (P) chứa $\Delta$ và song song với đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có phương trình là $8x+by+cz+d=0$. Tính $b+c+d$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;3)$, đi qua điểm $A(3;-2;1)$. Đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(3;2;-2)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta$ và song song với ${\Delta }^{\prime }$ nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(1\cdot (-2)-3\cdot 2;3\cdot 3-2\cdot (-2);2\cdot 2-1\cdot 3)=(-8;13;1)$.
Nhân với $-1$ để hệ số của $x$ bằng $8$: $\vec{n}=(8;-13;-1)$, tức $b=-13$, $c=-1$.
Vì $(P)$ qua $A(3;-2;1)$: $8\cdot 3+(-13)(-2)+(-1)(1)+d=0\Rightarrow 24+26-1+d=0\Rightarrow d=-49$.
Vậy $b+c+d=-13-1-49=-63$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.