Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d= ): = và mặt phẳng 1 2 −1 ( P ) : 2 x + y + z − 1 =0 . Phương trình đường thẳng ∆ nằm trong ( P ) , cắt ( d ) và tạo với ( d ) một góc 30° đi qua điểm nào sau đây:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A\left(\frac{17}{2};-27;5\right)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B\left(\frac{1}{2};1;0\right)$. Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(6;0;0)$, $N(0;-6;0)$, $P(0;0;1)$. Gọi điểm $C$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh. Khoảng cách từ vị trí $C$ đến $B$ bao nhiêu kilômét? (Làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;4;2)$ và $B(1;1;4)$; điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Khi đó độ dài đoạn thẳng $OM$ bằng :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z-3=0$ và điểm $A(1;2;1)$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$. Gọi $I$ là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $MI$ vuông góc với $\Delta$ và $MI=4\sqrt{14}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-3;1)$ và mặt phẳng $(P):2x+y-z+12=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+y-2z-2=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-2}{1}$. Đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta$ trên mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình là