Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu tâm $M(1;2;4)$ tiếp xúc mặt phẳng $2x+y-2z+1=0$ có bán kính bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1)$. Gọi $(S_1)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng 2 ; $(S_2)$ và $(S_3)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B$, $C$ và bán kính đều bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1)$, $(S_2)$, $(S_3)$.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z+2{)}^2=4\\ 4x-3y-m=0\end{array}$$ có đúng một nghiệm.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một trạm kiểm soát không gian trên Trái Đất cần tính toán vị trí của một vệ tinh viễn thông $S$ đang di chuyển trong không gian. Vệ tinh này truyền tín hiệu đến ba trạm thu sóng trên mặt đất có tọa độ $A(3;-2;5)$, $B(-1;4;-3)$, $C(6;1;2)$. Vệ tinh $S(x,y,z)$ luôn nằm trên một mặt cầu cố định do ảnh hưởng của từ trường hấp dẫn. Phương trình mặt cầu mô tả quỹ đạo vệ tinh là $(T):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=1$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha ):x-y-z+2=0$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-2y+z-17=0$. Biết mặt phẳng $(Q)$ cắt mặt cầu $(S):x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=25$ theo một đường tròn có chu vi bằng $6\pi$. Khi đó phương trình mặt phẳng $(Q)$ có dạng $2x-2y+z+d=0$. Tính $d$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;0;2)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z+4=0$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là