Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục $Ox$: $y=5x-6x^2$, $y=0$, $x=0$, $x=1$.

Câu 2. Một cái trống trường có bán kính các mặt trống là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai mặt trống có diện tích là $1600\pi ({\text{cm}}^2)$, chiều dài của trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục, cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Biết thể tích của cái trống bằng $ad{m}^3$. Tìm a ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Chuẩn bị cho ngày hội diễn văn nghệ chào đón ngày thành lập đoàn 26 tháng 3 năm 2025, ban Việt đã làm một “trại dã chiến” có dạng một khối tròn xoay như một cột tháp của tòa lâu đài (Hình 1). Mặt cắt qua trục của trại dã chiến như Hình 2.



Hình 1 (trái) và Hình 2 (phải): mặt cắt qua trục của trại dã chiến với đỉnh B, tâm O, điểm A trên đường kính đáy và O' là tâm mặt đáy dưới.

Biết rằng $O{O}^{\prime }=3\left(m\right)$, $OA=5\left(m\right)$, $OB=10\left(m\right)$, đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $B$. Tính thể tích $V\left(m^3\right)$ của khối trại chiếm chỗ trong không gian (làm tròn đến hàng đơn vị).

Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=1,x=2$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình $(H)$ quanh trục hoành $Ox$ là

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ $(a<b)$ . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

*(Cặp cốc cà phê hoàn hảo)* Giả sử bạn có hai chiếc cốc cà phê $C_1$ và $C_2$ như hình minh họa, một chiếc phình ra ngoài và một chiếc lõm vào trong. Bạn nhận thấy rằng chúng có cùng chiều cao và hình dạng của chúng khớp nhau hoàn hảo. Bạn tự hỏi tỉ lệ thể tích của hai chiếc cốc $\frac{V_{C_1}}{V_{C_2}}$ bằng bao nhiêu? Tất nhiên, bạn có thể đổ đầy nước vào một chiếc cốc rồi rót sang chiếc còn lại để so sánh, nhưng với tư cách là một học sinh vừa học xong các ứng dụng của tích phân, bạn quyết định tiếp cận theo hướng toán học hơn. Bỏ qua phần tay cầm, coi độ dày của cốc không đáng kể, bạn nhận thấy rằng phần bên trong của cả hai chiếc cốc đều tạo bởi các mặt quay quanh trục.





Cụ thể, $C_1$ do hình phẳng $ABMIN$ quay quanh $AB$, $C_2$ do hình phẳng $DCMIN$ quay quanh $CD$. Biết rằng $ABCD$ là hình vuông cạnh $10$ cm, $M,N$ lần lượt thuộc hai cạnh $BC,AD$ sao cho $MN\parallel AB,BM=4$ cm. Điểm $K$ là trung điểm của $AB$ và $I$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Cung $\widehat{MIN}$ là một phần của parabol nhận $I$ là đỉnh. Tỉ số $\frac{V_{C_1}}{V_{C_2}}$ bằng $\frac{a}{b}$, trong đó $a,b\in \mathbb{N},\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$