Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=1,x=2$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình $(H)$ quanh trục hoành $Ox$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a$ , $x=b$ $(a<b)$ . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

*(Cặp cốc cà phê hoàn hảo)* Giả sử bạn có hai chiếc cốc cà phê $C_1$ và $C_2$ như hình minh họa, một chiếc phình ra ngoài và một chiếc lõm vào trong. Bạn nhận thấy rằng chúng có cùng chiều cao và hình dạng của chúng khớp nhau hoàn hảo. Bạn tự hỏi tỉ lệ thể tích của hai chiếc cốc $\frac{V_{C_1}}{V_{C_2}}$ bằng bao nhiêu? Tất nhiên, bạn có thể đổ đầy nước vào một chiếc cốc rồi rót sang chiếc còn lại để so sánh, nhưng với tư cách là một học sinh vừa học xong các ứng dụng của tích phân, bạn quyết định tiếp cận theo hướng toán học hơn. Bỏ qua phần tay cầm, coi độ dày của cốc không đáng kể, bạn nhận thấy rằng phần bên trong của cả hai chiếc cốc đều tạo bởi các mặt quay quanh trục.





Cụ thể, $C_1$ do hình phẳng $ABMIN$ quay quanh $AB$, $C_2$ do hình phẳng $DCMIN$ quay quanh $CD$. Biết rằng $ABCD$ là hình vuông cạnh $10$ cm, $M,N$ lần lượt thuộc hai cạnh $BC,AD$ sao cho $MN\parallel AB,BM=4$ cm. Điểm $K$ là trung điểm của $AB$ và $I$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Cung $\widehat{MIN}$ là một phần của parabol nhận $I$ là đỉnh. Tỉ số $\frac{V_{C_1}}{V_{C_2}}$ bằng $\frac{a}{b}$, trong đó $a,b\in \mathbb{N},\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$

Câu 4. Một người thiết kế mô hình một cây nấm trang trí có hình dạng như hình vẽ 3D ở Hình 1. Hình 2 là bản vẽ toán học (xem hình vẽ, đơn vị trên trục là $cm$). Biết rằng cây nấm được tạo thành khi xoay phần tô đậm trong Hình 2 quanh trục hoành. Tính thể tích của mô cây nấm này. (đơn vị $c{m}^3$, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).



Hình 1



Hình 2

Cho $y=f(x)$ là hàm số liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ xung quanh trục $Ox$ có thể tích là

Cho $y=f(x)$ là hàm số liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ xung quanh trục $Ox$ có thể tích là

Gọi $(H)$ là hình được ghép bởi tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ và một phần tư hình tròn tâm $O$, bán kính $OA$ (tham khảo hình minh họa). một vật trang trí là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình $(H)$ quanh trục $AB$. Biết $OA=4cm$. Thể tích của vật trang trí đó gần với giá trị nào trong các giá trị sau?