Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+t\\ z=2t\end{array}$ ?

Một cái lều vải có dạng hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Cả hai mặt $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B$ và $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ được phủ kín bằng một mảnh vải hình chữ nhật có diện tích $20{\text{m}}^2$, mặt $ABC$ làm bằng mảnh vải hình tam giác đều có diện tích $\sqrt{3}{\text{m}}^2$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Người ta dự định trang trí một dải đèn Led trên đoạn thẳng nối từ $B^{\prime }$ đến $A$, một dải đèn Led khác trên đoạn thẳng nối từ $C$ đến $C^{\prime }$. Số đo góc giữa hai đường thẳng chứa hai dải đèn Led trên bằng $a^{\circ }$. Tìm $a$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y-m}{-1}=\frac{z-3}{2},d_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{2m+3}$, ở đó $m\ne -\frac{3}{2}$ là tham số. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $d_1$ vuông góc với đường thẳng $d_2$?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a,SA=a\sqrt{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tính cosin góc giữa đường thẳng $BG$ với đường thẳng $SA$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y+z-5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1}$. Biết rằng trong mặt phẳng $(P)$ có hai đường thẳng $d_1,d_2$ cùng đi qua điểm $A(3;-1;0)$ và cùng cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $3$. Tính $\sin \phi$ với $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét đường thẳng $(\Delta )$ đi qua điểm $M(3;1;1)$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z-3=0$. Khi $(\Delta )$ tạo với đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}$ một góc nhỏ nhất thì đường thẳng $(\Delta )$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(5;b;c)$. Giá trị của $b+c$ bằng bao nhiêu?