Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z+5=0$. Giả sử $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\vec{u}=(1;0;1)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ là lớn nhất. Tính $MN$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S)$ có tâm là điểm $I(-1;2;3)$ và đi qua điểm $A(1;0;4)$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-11=0$ và điểm $I(-3;3;1)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm là điểm $I$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2$ và $AD=1$. Gọi $M$ là trung điểm của $DC$. Biết $SA\perp (ABCD)$ và $SA=2$ (tham khảo hình vẽ bên).

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.BCM$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tương ứng với $100\text{ m}$. Một trạm kiểm soát ven biển có vùng nhận diện tín hiệu là một khối cầu bán kính $800\text{ m}$, tâm của trạm đặt tại $I(1;2;1,2)$. Vào lúc $8$ giờ $00$ phút sáng, một tàu đánh cá di chuyển thẳng đều từ vị trí $A(16;-13;0)$ đến vị trí $B(-14;17;0)$ và đến nơi lúc $8$ giờ $30$ phút sáng cùng ngày.

Trong sảnh một trung tâm hội nghị, các kiến trúc sư lắp đặt một khối cầu trang trí phản quang có mặt ngoài được mô phỏng bởi phương trình $x^2+y^2+z^2=9$ (đơn vị: mét). Một đèn chiếu điểm (spotlight) di chuyển dọc theo trục ray thẳng có phương trình $d:x-1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-3}$. Khi đèn ở vị trí $M$, các tia sáng phát ra tiếp xúc với khối cầu. Tập hợp các tiếp điểm tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng $(P)$, là ranh giới giữa vùng sáng và vùng tối (tham khảo hình vẽ bên).

Khi đèn $M$ di chuyển đến vị trí sao cho mặt phẳng $(P)$ đi qua mắt cảm biến cố định tại $D(2;0;1)$, hãy tính khoảng cách từ đèn $M$ đến tâm khối cầu (làm tròn đến hàng phần chục của mét).

Khối cầu $(S)$ có thể tích bằng $36\pi$. Diện tích của mặt cầu $(S)$ bằng