Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+4y+5z+8=0$. Đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+1=0$ và $(\beta ):x-2z-3=0$. Góc $\phi$ là góc giữa $d$ và $(P)$, tính $\phi$.

Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+3=0$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  1  0 và đường thẳng
x 1 y  2 z  3
d:   . Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua A  3; 4;1 vuông góc
2 1 1
với d và nằm trong  P  là

 x  3  2t  x  3  2t  x  3  2t  x  3  t
   

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x  y  2 z  2  0 và hai điểm A(2;0;1) , B(1;1; 2) .
Gọi d là đường thẳng nằm trong ( ) và cắt đường thẳng AB , thỏa mãn góc giữa hai đường
thẳng AB và d bằng góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( ) . Khoảng cách từ điểm A
đến đường thẳng d bằng

6 3

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{3}$ và mặt phẳng $(P):3x-y+2z+8=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z+2=0$. Gọi $\phi$ là góc giữa $\Delta$ và $(P)$. Tính $\sin \phi$.