Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+2{)}^2+y^2+(z+5{)}^2=24$ cắt mặt phẳng $(P):x+y+4=0$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $A(4;-12;1)$ nhỏ nhất có tung độ bằng

Cho mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo một đường tròn bán kính $r$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ có đường kính bằng 6 có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(4;-2;4)$, $B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-1\\ z=t\end{array}$. Gọi $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ và $N$ là điểm di động thuộc $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MN$?

Câu 5. Trên mặt đất có hai trạm thiên văn $B$ và $C$ đang theo dõi vị trí của một vệ tinh $M$. Lúc này trong không gian cũng có một vệ tinh $A$ di chuyển cùng với tốc độ quay của trái đất nên vị trí so với hai đài quan sát $B$ và $C$ là không đổi. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1000\text{ km}$), giả sử $A(0;0;8),B(4;0;0),C(0;6;0)$. Dữ liệu quan sát từ hai trạm $B$ và $C$ cho thấy $M{B}^2+M{C}^2=44$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vệ tinh $A$ và $M$ *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm và đơn vị là nghìn kilômét)*.

Gọi $R$ là bán kính, $S$ là diện tích mặt cầu và $V$ là thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?

Cho số phức $z$ thay đổi thỏa mãn $|z-1|=2$. Biết rằng tập hợp các số phức $w=(1+\sqrt{3}i)z+2$ là đường tròn có bán kính bằng $R$. Tính $R$.