Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_4(9x^2+16y^2+112y)+{\log }_3(9x^2+16y^2)<{\log }_{4}y+{\log }_3(684x^2+1216y^2+720y)$?

Điều kiện $y>0$. Đặt $t=\frac{9x^2+16y^2}{y}>0$, bất phương trình trở thành ${\log }_4(t+112)-{\log }_3(76t+720)+{\log }_{3}t<0\iff {\log }_4(t+112)<{\log }_3\left(76+\frac{720}{t}\right)$. Vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến theo $t>0$ và hai vế bằng nhau tại $t=144$, nên $0<t<144\iff 9x^2+16y^2-144y<0\iff \frac{x^2}{16y}+\frac{(y-9{)}^2}{81}<1$. Đếm các cặp số nguyên $(x;y)$ với $y\in \{1;2;\dots ;8\}$ ta được $76$ cặp. Chọn D.