Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=9$ và điểm $M(4;2;3)$. Một đường thẳng bất kỳ qua $M$ cắt $(S)$ tại $A,B$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của $M{A}^2+4M{B}^2$ bằng

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và bán kính $R=3$. Ta có $IM=\sqrt{(4-1{)}^2+(2-2{)}^2+(3+1{)}^2}=5>R$, nên điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$. Phương tích của điểm $M$ đối với mặt cầu $(S)$ là $MA\cdot MB=I{M}^2-R^2=5^2-3^2=16$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $M{A}^2+4M{B}^2\ge 2\sqrt{M{A}^2\cdot 4M{B}^2}=4MA\cdot MB=4\cdot 16=64$. Dấu bằng xảy ra khi $MA=2MB⟺MB=2\sqrt{2},MA=4\sqrt{2}$ (thỏa mãn $AB=MA-MB=2\sqrt{2}<2R=6$). Vậy giá trị nhỏ nhất của $M{A}^2+4M{B}^2$ bằng $64$.