Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABC$ có các đỉnh $S(1;2;-2),A(-1;0;-2),C(3;-4;0)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có độ dài cạnh $BC=3\sqrt{3}$ đồng thời mặt đáy $(ABC)$ vuông góc với mặt bên $(SAC)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(SBC)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1$ mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng lên trên vuông góc với mặt biển, đỉnh của một ngọn hải đăng ở vị trí $I(21;35;50)$ cao $50$ mét so với mực nước biển và ngọn hải đăng này được thiết kế với vùng phủ sáng có bán kính là $4\text{ km}$. Một người đi biển ở vị trí $A(5121;658;0)$.

Trong không gian, cho đoạn thẳng $AB$. Tập hợp các điểm $M$ sao cho góc $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ cùng với $A,B$ tạo thành một

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;1;2)$, mặt phẳng $(\alpha ):x-y+z+1=0$ và mặt cầu $(S):x^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=16$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $A$, vuông góc với $(\alpha )$ và đồng thời $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tìm tọa độ giao điểm $B$ của $(P)$ với trục tung.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(3;-1;2)$ và tiếp xúc với trục $Ox$ có phương trình là:

Cho mặt cầu có bán kính $r=4\text{ cm}$. Thiết diện của mặt cầu khi cắt bởi một mặt phẳng bất kì có diện tích lớn nhất bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{2}$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=4$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ lần lượt tại các tiếp điểm là $M$ và $N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng: