Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;2;0)$, $B(-1;3;5)$. Gọi $I(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Khi đó, giá trị của biểu thức $a+2b+2c$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$; biết $SA=AB=a$, $\widehat{ABC}=\phi$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên các cạnh $SB$ và $SC$. Tính độ dài đoạn $KH$ theo $a$ và $\phi$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3)$, $B(0;1;2)$ và $C(1;3;1)$. Tam giác $ABC$ có diện tích bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;-1)$ và $B(3;4;-3)$. Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=10$, $AD=16$, $A{A}^{\prime }=8$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có góc $O$ trùng với $A$, các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ lần lượt cùng hướng với $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }C}$.

Trong không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=2\vec{j}-\vec{i}-3\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, $SA=a$ và đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$, $O$ là trung điểm của $BC$. Bằng cách thiết lập hệ tọa độ như hình vẽ, hãy xét tính đúng sai của các khẳng định sau