Trên một hòn đảo (kí hiệu là điểm A) có một người bị tai nạn nặng không thể di chuyển người bệnh và cần cấp cứu gấp. Do điều kiện trên đảo thiếu thuốc, máu và thiết bị y tế để cấp cứu cho bệnh nhân nên bác sĩ đã cử tàu ca nô đi về đất liền ở vị trí M. Cùng lúc tàu khởi hành, bệnh viện ở vị trí C đã cử xe cứu thương đưa thuốc, máu và vật tư y tế đến vị trí M. Biết rằng $BC=60\text{ km},AB=20\text{ km}$, tàu đi với vận tốc $60\text{ km/h}$ và xe cứu thương đi với vận tốc $80\text{ km/h}$. Tính thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng $4,2{\text{m}}^2$ (tham khảo hình vẽ bên). Tìm chu vi nhỏ nhất của khung cửa sổ (để tiết kiệm vật liệu nhất, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+15x$ (triệu đồng) (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $15$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Câu 5. Một nhà địa chất đang khảo sát tại điểm $A$ trên sa mạc và cần di chuyển gấp về trạm nghiên cứu ở điểm $B$ cách $A$ một khoảng $90\text{ km}$. Do địa hình cát đồi hiểm trở, xe chuyên dụng của ông khi chạy trực tiếp trên sa mạc chỉ đạt vận tốc tối đa $30\text{ km/h}$. Cách đường nối $AB$ một khoảng $20\text{ km}$ có một con đường nhựa thẳng song song với $AB$, nơi xe có thể tăng tốc lên tới $50\text{ km/h}$. Để rút ngắn tối đa thời gian di chuyển, nhà địa chất quyết định lái xe qua sa mạc để ra đường nhựa, chạy một đoạn trên đường nhựa rồi mới rẽ qua sa mạc để về $B$. Hãy tính thời gian di chuyển ngắn nhất của ông từ $A$ đến $B$ (Kết quả tính theo giờ và làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $S_{AB{C}^{\prime }}=\sqrt{3}$. Mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ tạo với đáy một góc $\alpha$. Tính $\cos \alpha$ để $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ lớn nhất.

Một công ty cần xây dựng một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật (có nắp) bằng vật liệu gạch và xi măng có thể tích $2000{\text{ m}}^3$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất, biết giá xây dựng là $500.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Khi đó chi phí thấp nhất gần với số nào dưới đây?

Một showroom ô tô trung bình bán được 45 ô tô loại A mỗi quý với giá 1,299 tỷ đồng một xe. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 200 triệu đồng, số lượng ô tô loại A đó bán ra sẽ tăng thêm khoảng 20 xe mỗi quý. Biết rằng hàm chi phí hàng quý là $C(x)=0,001x^3-0,085x^2+1,437x+0,3$ (tỷ đồng), trong đó $x$ là số ô tô bán ra trong một quý. Nhà sản xuất nên đặt giá bán (đơn vị tỷ đồng) như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?