Nhà máy $A$ chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy $B$. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng $A$ cung cấp cho $B$ số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của $B$ (tối đa $100$ tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01x^2$ (triệu đồng). Chi phí để $A$ sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=100+15x$ (triệu đồng) (gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định và $15$ triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi $A$ bán cho $B$ bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận cao nhất?

Câu 5. Một nhà địa chất đang khảo sát tại điểm $A$ trên sa mạc và cần di chuyển gấp về trạm nghiên cứu ở điểm $B$ cách $A$ một khoảng $90\text{ km}$. Do địa hình cát đồi hiểm trở, xe chuyên dụng của ông khi chạy trực tiếp trên sa mạc chỉ đạt vận tốc tối đa $30\text{ km/h}$. Cách đường nối $AB$ một khoảng $20\text{ km}$ có một con đường nhựa thẳng song song với $AB$, nơi xe có thể tăng tốc lên tới $50\text{ km/h}$. Để rút ngắn tối đa thời gian di chuyển, nhà địa chất quyết định lái xe qua sa mạc để ra đường nhựa, chạy một đoạn trên đường nhựa rồi mới rẽ qua sa mạc để về $B$. Hãy tính thời gian di chuyển ngắn nhất của ông từ $A$ đến $B$ (Kết quả tính theo giờ và làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $S_{AB{C}^{\prime }}=\sqrt{3}$. Mặt phẳng $(AB{C}^{\prime })$ tạo với đáy một góc $\alpha$. Tính $\cos \alpha$ để $V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ lớn nhất.

Một công ty cần xây dựng một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật (có nắp) bằng vật liệu gạch và xi măng có thể tích $2000{\text{ m}}^3$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất, biết giá xây dựng là $500.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Khi đó chi phí thấp nhất gần với số nào dưới đây?

Một showroom ô tô trung bình bán được 45 ô tô loại A mỗi quý với giá 1,299 tỷ đồng một xe. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 200 triệu đồng, số lượng ô tô loại A đó bán ra sẽ tăng thêm khoảng 20 xe mỗi quý. Biết rằng hàm chi phí hàng quý là $C(x)=0,001x^3-0,085x^2+1,437x+0,3$ (tỷ đồng), trong đó $x$ là số ô tô bán ra trong một quý. Nhà sản xuất nên đặt giá bán (đơn vị tỷ đồng) như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một nhà máy dự định sản xuất không quá $900$ sản phẩm. Nếu nhà máy sản xuất $x$ sản phẩm $(0\le x\le 900)$ thì lợi nhuận nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $f(x)=-x^3+900x^2+56700x+450000$ (đồng). Nhà máy cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Câu 5. Trong ngành hàng hải, lượng nhiên liệu tiêu thụ của một con tàu trong một đơn vị thời gian xấp xỉ tỷ lệ thuận với lập phương vận tốc của nó. Một tàu chở hàng xuất phát từ cảng Singapore đi đến cảng Tiên Sa cách 1000 hải lý. Gọi $v$ (hải lý/giờ) là vận tốc của tàu ($v>0$). Dữ liệu kỹ thuật cho thấy chi phí nhiên liệu vận hành của con tàu là $0,02\cdot v^3\text{ (USD/giờ)}$. Các chi phí vận hành cố định khác như lương thuyền viên, khấu hao, bảo hiểm,... không phụ thuộc vào vận tốc tàu là $625\text{ USD/giờ}$. Hỏi thuyền trưởng cần duy trì vận tốc trung bình là bao nhiêu hải lý/giờ để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến đi là thấp nhất?