Tính diện tích tam giác $ABC$ biết $AB=3,BC=5,CA=6$.

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A$ và $B$ mà ta không thể đi trực tiếp từ $A$ đến $B$ (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy...), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm $C$ sao cho ta đo được các khoảng cách $AC,CB$ và góc $\widehat{ACB}$. Sau khi đo, người ta nhận được $AC=800m$; $CB=723m$ và $\widehat{ACB}=120^0$ (Hình 31). Tính khoảng cách $AB$ (làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Tính diện tích tam giác $ABC$ biết $AB=3,BC=5,CA=6$.

Cho tam giác $ABC$ với $AB=c,AC=b,BC=a$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hai chiếc ca nô du lịch A và B xuất phát từ hai bến cách nhau 13 km và cùng chở khách đến đảo C. Biết rằng hai ca nô di chuyển trên hai đường thẳng vuông góc với nhau và cùng tốc độ 30km/h (tham khảo hình vẽ). Ca nô A xuất phát trước ca nô B một khoảng thời gian là $\frac{7}{30}$ giờ và hai ca nô đến đảo C cùng lúc. Biết rằng, nếu gọi quãng đường ca nô A đã đi từ bến đến đảo C là $x$ km thì thời gian đi của ca nô A là $\frac{x}{30}$ giờ và thời gian đi của ca nô B là $\frac{\sqrt{169-x^2}}{30}$ giờ. Tìm $x$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường thẳng $IE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm $G$ khác $E$. $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Gọi $N$ là trung điểm của $AC$.
a) Chứng minh rằng $NE=NK$.
b) Đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt các đường thẳng $BE,BN,BG$ tại $S,P,T$ khác $B$. Gọi $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng các điểm $M,N,O,P$ cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,AC=3\sqrt{2},\hat{A}=45^{\circ }$.