Tính diện tích tam giác $ABC$ biết $AB=3,BC=5,CA=6$.

Hai chiếc ca nô du lịch A và B xuất phát từ hai bến cách nhau 13 km và cùng chở khách đến đảo C. Biết rằng hai ca nô di chuyển trên hai đường thẳng vuông góc với nhau và cùng tốc độ 30km/h (tham khảo hình vẽ). Ca nô A xuất phát trước ca nô B một khoảng thời gian là $\frac{7}{30}$ giờ và hai ca nô đến đảo C cùng lúc. Biết rằng, nếu gọi quãng đường ca nô A đã đi từ bến đến đảo C là $x$ km thì thời gian đi của ca nô A là $\frac{x}{30}$ giờ và thời gian đi của ca nô B là $\frac{\sqrt{169-x^2}}{30}$ giờ. Tìm $x$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường thẳng $IE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm $G$ khác $E$. $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Gọi $N$ là trung điểm của $AC$.
a) Chứng minh rằng $NE=NK$.
b) Đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt các đường thẳng $BE,BN,BG$ tại $S,P,T$ khác $B$. Gọi $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng các điểm $M,N,O,P$ cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=5,AC=3\sqrt{2},\hat{A}=45^{\circ }$.

Trên sườn đồi có một cái cây thẳng đứng đổ bóng dài $AB=18,5m$ xuống đồi. Biết góc nghiêng của sườn đồi là $\alpha =26^{\circ }$ so với phương ngang và góc nghiêng của tia nắng mặt trời đi qua ngọn cây là $\beta =54^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ). Chiều cao $BC$ của cây bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười, đơn vị đo là mét).

Cho tam giác $ABC$ có $BC=3,AB=4$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng $3\sqrt{3}$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=c,AC=b,BC=a$. Khẳng định nào sau đây đúng?