Tìm nghiệm phương trình lượng giác $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0$;

Cho hai đồ thị hàm số $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ và $y=\sin x$, khi đó:

Tập nghiệm của phương trình $\sin 2x=\sin x$ là:

Phương trình $\cos (2x+30^{\circ })+\sin x=0$ có nghiệm là

1. Giải phương trình $\sin x-\cos x+\sin 2x-\cos 2x=1$.

2. Một cơ sở sản xuất thảm lụa có quỹ thời gian sản xuất là 120 giờ/tuần. Cơ sở chuyên sản xuất hai loại thảm: tấm cỡ lớn và tấm cỡ nhỏ. Mỗi tấm thảm cỡ lớn mất 3 giờ để dệt và mỗi tấm thảm cỡ nhỏ mất 1,5 giờ để dệt. Kho chứa hàng của cơ sở chỉ chứa được tối đa 30 tấm thảm cỡ lớn và mỗi tấm thảm cỡ lớn chiếm chỗ bằng 3 tấm thảm cỡ nhỏ. Cuối mỗi tuần, khách hàng sẽ thu mua toàn bộ số thảm cơ sở đã dệt. Hỏi trong một tuần, cơ sở đó nên sản xuất bao nhiêu tấm thảm mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất, biết rằng mỗi tấm thảm cỡ lớn lãi 180 nghìn đồng và mỗi tấm thảm cỡ nhỏ lãi 80 nghìn đồng?

3. Một vật nhỏ chuyển động thẳng từ vị trí $A$ hướng đến vị trí $B$ cách $A$ một khoảng 265 m, theo cách ngắt quãng như sau: Đầu tiên, vật đi được một quãng dài 3 m rồi dừng lại 1 giây, tiếp đó vật đi được quãng thứ hai dài 5 m rồi dừng lại 2 giây,... Cứ tiếp tục như vậy, thời gian dừng mỗi lần tiếp theo gấp đôi thời gian dừng lần kế trước nó; độ dài mỗi quãng tiếp theo lớn hơn độ dài của quãng kề trước nó 2 m. Hỏi, sau bao lâu thì vật đến $B$, biết rằng trên mỗi quãng, vật chuyển động đều với tốc độ 1 m/s?

Một vòng quay Mặt Trời quay quanh trục mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách $h(m)$ từ một cabin $M$ trên vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức $h(t)=a\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+b;a>0$. Với $t$ là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút $(t\ge 0)$. Biết rằng khi lên đến vị trí cao nhất cabin $M$ cách mặt đất $114,5m$ và khi xuống đến vị trí thấp nhất cabin $M$ cách mặt đất $0,5m$. Trong vòng quay đầu tiên tính từ thời điểm $t=0$ (phút), những thời điểm nào cabin $M$ đạt được độ cao $86m$ so với mặt đất?

Tìm số nghiệm của phương trình ${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{4}-x\right)-\cos x=\frac{1}{2}$ trong đoạn $[-3\pi ;4\pi ]$.