Cho hai đồ thị hàm số $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ và $y=\sin x$, khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$.

Đây chính là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị nên khẳng định a) đúng.

Giải: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ (vô nghiệm) hoặc $x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi \iff 2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy khẳng định b) đúng.

Với $x\in [0;2\pi ]$: các nghiệm là $x=\frac{3\pi }{8}$ ($k=0$), $x=\frac{11\pi }{8}$ ($k=1$); với $k=2$ ta được $x=\frac{19\pi }{8}>2\pi$ (loại). Vậy hai đồ thị chỉ cắt nhau tại hai điểm, khẳng định c) sai.

Tọa độ giao điểm là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$ như đề, nên khẳng định d) sai.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ và $y=\sin x$ là $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$: đúng.

b) $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$ (trường hợp $x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ vô nghiệm): đúng.

c) Với $x\in [0;2\pi ]$ chỉ có hai nghiệm $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$ (nghiệm $k=2$ là $\frac{19\pi }{8}>2\pi$), nên hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm chứ không phải ba.

d) Tọa độ giao điểm đúng là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải với hoành độ $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$.