Cho phương trình lượng giác $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*). Khi đó

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*). Vì $\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

a) $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\cos (-\pi /6)}{\sin (-\pi /6)}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên (*) không tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ → Sai.

b) Với $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ thì $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, không thỏa mãn. Nghiệm đúng là $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ → Sai.

c) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$: $k=0$ cho $x=-\frac{\pi }{9}$; $k=-1$ cho $x=-\frac{4\pi }{9}$; $k=-2$ cho $x=-\frac{7\pi }{9}<-\frac{\pi }{2}$ (loại); $k=1$ cho $x=\frac{2\pi }{9}>0$ (loại). Tổng: $-\frac{\pi }{9}+\left(-\frac{4\pi }{9}\right)=-\frac{5\pi }{9}$ → Đúng.

d) Nghiệm dương nhỏ nhất với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{9}$ → Đúng.
a) Ta có $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)}{\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Do đó phương trình (*) không tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ → Sai.
b) Với $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ thì $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên đây không phải là nghiệm của phương trình (*). Nghiệm đúng là $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ → Sai.
c) Nghiệm tổng quát $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$. Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có hai nghiệm $x=-\frac{\pi }{9}$ ($k=0$) và $x=-\frac{4\pi }{9}$ ($k=-1$). Tổng bằng $-\frac{\pi }{9}+\left(-\frac{4\pi }{9}\right)=-\frac{5\pi }{9}$ → Đúng.
d) Với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{9}$ là nghiệm dương nhỏ nhất → Đúng.