Tìm các giá trị của tham số m để phương trình $x^2-2(m+1)x+3m^2-3=0$:
a. có nghiệm b. có hai nghiệm trái dấu

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $x^2-2(m+1)x+3m^2-3=0$ với $a=1$, $b=-2(m+1)$, $c=3m^2-3$.

Cách 1 (dùng biệt thức):
$$\Delta =b^2-4ac=4(m+1{)}^2-4(3m^2-3)=4(m^2+2m+1-3m^2+3)=-8(m^2-m-2)=-8(m-2)(m+1).$$

**a. Phương trình có nghiệm** $\iff \Delta \ge 0\iff (m-2)(m+1)\le 0\iff -1\le m\le 2$.

Vậy $m\in [-1;2]$.

**b. Phương trình có hai nghiệm trái dấu:**

Vì $a=1>0$, phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi tích hai nghiệm âm:
$$P=\frac{c}{a}=3m^2-3<0\iff m^2<1\iff -1<m<1.$$

(Khi $-1<m<1$ thì $\Delta =-8(m-2)(m+1)>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, và tích nghiệm $3m^2-3<0$ nên hai nghiệm trái dấu — điều kiện thỏa mãn.)

Vậy $m\in (-1;1)$.

*Cách 2 cho câu b (dùng định lý Vi-ét):* hai nghiệm trái dấu $\iff \Delta >0$ và $S=2(m+1)\ne 0$... thực chất chỉ cần $P=3m^2-3<0$ vì điều này đã kéo theo $\Delta >0$ như đã kiểm tra ở trên.