Tìm $a$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3x+a}{x+3}& \text{khi }x\ge -1\\ \frac{x^3+x^2+4x+4}{x^2-1}& \text{khi }x<-1\end{array}$ liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(-1)$.

Giới hạn trái: với $x<-1$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{x^3+x^2+4x+4}{x^2-1}$. Phân tử phân tích: $x^3+x^2+4x+4=x^2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x^2+4)$; mẫu $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Vậy giới hạn $={\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{x^2+4}{x-1}=\frac{1+4}{-1-1}=-\frac{5}{2}$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{3x+a}{x+3}=\frac{-3+a}{2}$.

Liên tục tại $x=-1$ yêu cầu $\frac{a-3}{2}=-\frac{5}{2}\Rightarrow a-3=-5\Rightarrow a=-2$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: $a=-2$.