Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là $50{\text{ m}}^2$. Vụ trước ông nuôi với mật độ là $20{\text{ con/m}}^2$ và thu được $1,5\text{ taˆˊn}$ cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi $8{\text{ con/m}}^2$ thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên $0,5\text{ kg}$. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo thể tích không đổi bằng $V=5{\text{ m}}^3$, thùng tôn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, không nắp. Trên thị trường, giá tôn làm đáy thùng là $100.000\text{ đoˆˋng}/1{\text{m}}^2$, giá tôn làm mặt xung quanh của thùng là $80.000\text{ đoˆˋng}/1{\text{m}}^2$. Hỏi người bán gạo đó đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu sao cho chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất?

Câu 3. Nhà ông $A$ cần làm một bể chứa nước có dạng khối hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình chữ nhật và chiều dài gấp ba lần chiều rộng, khối hộp tương ứng có thể tích bằng $1152{\text{ dm}}^3$. Giả sử bề dày của thành bể và đáy bể là không đáng kể. Giá thuê công nhân để làm bể là $400000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể ($x$ là số dương và có đơn vị là $\text{dm}$).

Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm $A$) trong đất liền ra đảo (điểm $C$). Biết khoảng cách ngắn nhất từ $C$ đến $B$ là $60\text{ km}$, khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $100\text{ km}$, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là $100$ triệu đồng, chi phí mỗi km dây điện trên bờ là $60$ triệu đồng. Hỏi điểm $G$ cách $A$ bao nhiêu km để mắc dây điện từ $A$ đến $G$ rồi từ $G$ đến $C$ chi phí thấp nhất? (Đoạn $AB$ ở trên bờ, đoạn $GC$ dưới nước)

Một xe ôtô chở khách du lịch có sức chứa tối đa $29$ hành khách. Trong khu du lịch Đền Hùng, một đoàn khách gồm $40$ người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn. Người lái xe đưa ra thoả thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở $x$ (người) thì giá tiền cho mỗi người là $\frac{(100-x{)}^2}{40}$ (nghìn đồng) và một chuyến không chở dưới $15$ người. Hỏi với thoả thuận như trên thì cần trả ít nhất bao nhiêu nghìn đồng để cả đoàn được đưa về khách sạn bằng xe du lịch?

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng X được cho bởi công thức $P(x)=-x^3+24x^2+780x-1000$ (nghìn đồng) trong đó $x$ (tấn) là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa $40$ tấn sản phẩm trong một tuần. Hỏi để có lợi nhuận lớn nhất thì xưởng cần sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm trong một tuần?

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+5$, với đơn vị của hệ trục là $100\mathrm{m}$. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y=36-9x$. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).