Ông An muốn trang trí trần nhà bằng hệ thống dây điện hình tam giác, giả sử trần nhà là hình chữ nhật $DEBF$. Ông dự kiến vị trí $A$ và $B$ sao cho $AB=5m$, $AD=1m$, $BE=4m$. Ông muốn tìm vị trí điểm $C$ trên $DE$ sao cho độ dài dây điện là ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hình thap $ABCD$ vuông tại $A$ và có $AB=AD=\frac{1}{2}DC=a$. Gọi $BF$ là đường phân giác trong của tam giác $ABD$ $(F\in AD)$. Khi đó:

Trong một khuôn viên hình vuông $ABCD$ cạnh $10m$, ở đó có ba cây cổ thụ được trồng tại các vị trí $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $AD,AB,BC$, với $AM=5m$, $AN=4m$, $BP=6m$ (tham khảo hình vẽ). Người ta muốn đào một cái ao có đường biên là một đường tròn $(C)$ nằm trong khuôn viên đó, sao cho khoảng cách ngắn nhất từ mỗi gốc cây cổ thụ đến đường biên $(C)$ bằng nhau. Khi đó tâm $I$ của đường tròn $(C)$ là điểm cách hai cạnh $AB,AD$ lần lượt là $a(m)$ và $b(m)$, đồng thời bán kính tối đa của ao là $R(m)$. Tính $a+b+R$? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(-4;1),B(2;4),C(2;-2)$. Tọa độ điểm $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính $x+y$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị mét), một robot di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(20;30)$ đến điểm $B(80;110)$ trong 10 phút thì gặp chướng ngại vật và lập tức quay đầu di chuyển ngược lại. Khi quay lại, robot tăng vận tốc gấp 1,5 lần vận tốc ban đầu và tiếp tục di chuyển trong 8 phút tiếp theo. Sau khi kết thúc 8 phút đó, khoảng cách từ robot đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2;-1),B(8;7)$. Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng