Cho hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

a) $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$, không phải $1+\frac{4}{x^2}$ → SAI.

b) $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$. Vì $x\ne 0$ nên $x^2>0$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $x^2-4$: $y^{\prime }<0$ khi $x\in (-2;0)\cup (0;2)$; $y^{\prime }>0$ khi $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$ → ĐÚNG.

c) Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ chỉ triệt tiêu tại $x=\pm 2$, với $y(-2)=-4$ (cực đại) và $y(2)=4$ (cực tiểu). Bảng biến thiên trong đề lại ghi điểm tới hạn $x=-3$ với giá trị $y=4$, và $y\to -\infty$ khi $x\to -2^{-}$ (thực tế $y(-2)=-4$), đồng thời ghi cực tiểu $-4$ tại $x=2$ (thực tế $y(2)=4$). Bảng không khớp với hàm số đã cho → SAI.

Bảng biến thiên đúng:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>-2</td><td></td><td>2</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td>0</td><td>+</td><td></td></tr><tr><td>y</td><td>-\infty </td><td>\nearrow </td><td>-4</td><td>\searrow </td><td>4</td><td>\nearrow </td><td>+\infty </td></tr></tbody></table>$$

(dòng $y$ trên $(-\infty ;0)$: từ $-\infty$ tăng lên $-4$ tại $x=-2$ rồi giảm về $-\infty$; trên $(0;+\infty )$: từ $+\infty$ giảm xuống $4$ tại $x=2$ rồi tăng lên $+\infty$.)

d) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$, tiệm cận xiên $y=x$, cực đại $(-2;-4)$, cực tiểu $(2;4)$ — khớp với hình vẽ trong đề → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y=x+\frac{4}{x}$ nên $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}$, không phải $1+\frac{4}{x^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ âm trên $(-2;0),(0;2)$ và dương trên $(-\infty ;-2),(2;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đạo hàm thực tế $y^{\prime }=\frac{x^2-4}{x^2}$ chỉ triệt tiêu tại $x=\pm 2$ với $y(-2)=-4$ (cực đại), $y(2)=4$ (cực tiểu); bảng trong đề ghi $x=-3$, $y=4$ tại $-3$ và $-\infty$ tại $-2$, không khớp với hàm số đã cho → SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị có TCĐ $x=0$, TCX $y=x$, cực đại $(-2;-4)$, cực tiểu $(2;4)$, khớp với hình vẽ.