Nếu $G$ và $G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ thì $k\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, khi đó $k=$ ?

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AB=3a$, $AC=4a$, $M$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AC=3AM$. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thang $AB\parallel CD,AB=2CD$. Gọi $(P)$ là một mặt phẳng tùy ý không đi qua $S$ và cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q$ thỏa mãn $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SM},\overrightarrow{SC}=5\overrightarrow{SP}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2{\left(\frac{SB}{SN}\right)}^2+{\left(\frac{SD}{SQ}\right)}^2$.

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thang $AB\parallel CD,AB=2CD$. Gọi $(P)$ là một mặt phẳng tùy ý không đi qua $S$ và cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q$ thỏa mãn $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SM}$, $\overrightarrow{SC}=5\overrightarrow{SP}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2{\left(\frac{SB}{SN}\right)}^2+{\left(\frac{SD}{SQ}\right)}^2$.

Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=2$, $BD=6$, $AC\perp BD$. Gọi $M$, $N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tính $M{N}^2$.

Người ta treo một chiếc đèn trang trí có trọng lượng 180 N lên trần nhà bằng ba sợi dây không co giãn, bằng nhau tại ba điểm $A,B,C$. Mỗi sợi dây tạo với mặt phẳng trần nhà một góc $60^{\circ }$, đèn được giữ ở trạng thái cân bằng. Biết tam giác $ABC$ đều, hỏi độ lớn lực căng của mỗi sợi dây là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $G$ và luôn cắt các tia $AB$, $AC$, $AD$ lần lượt tại các điểm $I$, $N$, $P$ (khác đỉnh $A$). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{A{B}^2}{A{I}^2}+\frac{A{C}^2}{A{N}^2}+\frac{A{D}^2}{A{P}^2}$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)