Nếu ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx=2$ thì ${\int }_{-1}^4[4-3f(x)]dx$ bằng

Biết ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{4}{3}$. Khi đó ${\int }_0^1(g(x)-f(x))dx$ bằng

Giả sử $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;+\infty )$ và diện tích phần hình phẳng được kẻ sọc ở hình bên bằng $3$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(2x)dx$ bằng

Giả sử $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;\pi )$ và $f^{\prime }(x)\sin x=x+f(x)\cos x,\forall x\in (0;\pi )$. Biết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1,f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{12}(a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3})$, với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị $a+b+c$ bằng

Cho biết ${\int }_{-1}^1(1+f(x))\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$. Biểu thức ${\int }_{-1}^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(-2)=-12$, $F(4)=-6$. Tích phân ${\int }_{-2}^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho $y=f(x)$, $y=g(x)$ lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ.
Biết tung độ của $A$ và $C$ lần lượt là $\frac{7}{4}$ và $\frac{4}{3}$. Hình phẳng được đánh dấu có diện tích bằng $\frac{40}{3}$. Giá trị của tích phân ${\int }_1^2[f(x)-x]\mathrm{d}x$ bằng.

[IMAGE:img_1]