Một trạm X có chức năng thu – phát sóng điện thoại. Bán kính phủ sóng của trạm X là 2 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 km. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường dạng đường thẳng có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}$. Quãng đường bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu kílômét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ ${\vec{u}}_1(1;1;-4)$, ${\vec{u}}_2(0;1;1)$. Góc giữa hai vectơ đã cho bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=(3;0;1)$ và $\vec{v}=(2;1;0)$. Tính tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}$.

Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp $40$ ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây. Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật $CDFE$ và một hình thang $ADFG$ với các điểm $G(6;-6;6)$; $C(3;4;8)$; $F(4;-4;7)$ và điểm $I$ là trung điểm $CE$. Biết góc giữa hai véctơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $a^{\circ }$. Tìm $a$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;3;-2)$ và đường thẳng $(d):\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-2}$. Biết $N(a;b;c)$ thuộc $(d)$ và độ dài $MN$ ngắn nhất. Tính $a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M(t;0;0),N(0;2t;2t)$ với $t>0$. Điểm $Q$ di động thỏa mãn $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{NQ}=3$. Biết rằng có giá trị $t=\frac{a}{b}$ (với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản) sao cho $OQ$ đạt giá trị lớn nhất là $2$. Khi đó $a-b$ thuộc khoảng nào sau đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1)$ và $B(4;2;-2)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ là