Để nghiên cứu mối liên hệ giữa bệnh viêm họng và thói quen hút thuốc lá, người ta tiến hành khảo sát tại một số địa phương và được kết quả như sau: Số người nghiện thuốc lá chiếm $40\%$ trong số người được khảo sát; Trong số người nghiện thuốc lá có $65\%$ người bị viêm họng; Trong số người không nghiện thuốc lá có $30\%$ người bị viêm họng. Chọn ngẫu nhiên một người từ các địa phương trên. Biết người đó bị viêm họng, hãy tính xác suất để người đó nghiện thuốc lá (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một cửa hàng có $200$ hạt giống hoa hướng dương và $300$ hạt giống hoa cúc. Tỉ lệ nảy mầm của hạt giống hoa cúc là $90\%$, của hạt giống hoa hướng dương là $80\%$. Một chuyên gia nông nghiệp chọn ngẫu nhiên một hạt giống. Chuyên gia sử dụng máy quét tia X để dự đoán khả năng nảy mầm của hạt giống. Nếu hạt giống có khả năng nảy mầm, máy quét báo "Đạt" với xác suất $90\%$. Nếu hạt giống không có khả năng nảy mầm, máy quét báo "Đạt" với xác suất $10\%$.

Trong một trường đại học, một phần mềm phát hiện đạo văn được sử dụng để kiểm tra luận văn của sinh viên trước khi bảo vệ. Thống kê của các năm trước cho thấy có $1\%$ bài viết thực sự là đạo văn. Phần mềm này phát hiện đúng một bài luận văn là đạo văn với xác suất $98\%$. Nếu bài viết chính chủ, phần mềm cảnh báo nhầm là đạo văn với xác suất $3\%$. Kiểm tra ngẫu nhiên một bài luận văn của sinh viên nộp. Gọi $A$ là biến cố: “Bài viết thực sự là đạo văn”. Gọi $B$ là biến cố: “Phần mềm cảnh báo bài viết là đạo văn”. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Một nhà máy sản xuất sản phẩm $M$ có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là $2\%$. Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:
Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $95\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $1\%$.
Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là $90\%$. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là $5\%$.
Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Gọi xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi là $P$. Giá trị của $\frac{49}{P}$ bằng bao nhiêu?

Năm 2001, Cộng đồng châu Âu có làm một đợt kiểm tra rất rộng rãi các con bò để phát hiện những con bò bị bệnh bò điên. Không có xét nghiệm nào cho kết quả chính xác 100%. Một loại xét nghiệm, mà ở đây ta gọi là xét nghiệm A, cho kết quả như sau: khi con bò bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 70%, còn khi con bò không bị bệnh bò điên thì xác suất để có phản ứng dương tính trong xét nghiệm A là 10%. Biết rằng tỉ lệ bò bị mắc bệnh bò điên ở Hà Lan là 13 con trên 1000000 con (Nguồn: F.M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Chọn ngẫu nhiên một con bò ở Hà Lan.

Một xét nghiệm chẩn đoán bệnh X có độ nhạy (xác suất người mắc bệnh có kết quả dương tính) là $95\%$ và độ đặc hiệu (xác suất người không mắc bệnh có kết quả âm tính) là $99\%$. Tỉ lệ mắc bệnh X trong cộng đồng là $0,5\%$. Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng để thực hiện xét nghiệm.
Gọi biến cố $A$: "người được xét nghiệm mắc bệnh"; biến cố $B$: "kết quả xét nghiệm dương tính".

Trong một đợt kiểm tra sức khỏe tại trường, có $200$ học sinh được xét nghiệm một loại virus. Trong đó, biết rằng có $80$ bạn thật sự bị nhiễm virus. Nếu một bạn bị nhiễm, thì xét nghiệm cho kết quả dương tính (tức là phát hiện đúng bệnh) với xác suất $90\%$. Nếu một bạn không bị nhiễm, thì xét nghiệm vẫn có thể báo nhầm là dương tính (gọi là dương tính giả), với xác suất $5\%$. Giả sử một bạn có kết quả xét nghiệm dương tính. Hỏi xác suất để bạn đó thật sự bị nhiễm virus là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?