Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp đựng nước giải khát có dạng hình trụ, bán kính đáy là $r$ và chiều cao là $h$, với dung tích là $500c{m}^3$ (tham khảo hình bên dưới). Bán kính đáy chiếc hộp để diện tích toàn phần của vỏ hộp là nhỏ nhất bằng bao nhiêu $cm$? (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần mười)

Ông Sơn muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 288 $m^3$ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là 500.000 đồng /$m^2$ . Nếu ông Sơn biết xác định các kích thước một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Sơn trả chi phí thấp nhất ( tính theo đơn vị triệu đồng) để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu ?

Một công ty du lịch đặt hàng cho một cơ sở sản xuất lều bạt một lô hàng gồm 12 chiếc lều bạt du lịch giống hệt nhau, hình chóp tứ giác đều mà thể tích trong mỗi chiếc lều là $18m^3$ (không tính đến đường viền, nếp gấp và lều không may bạt ở đáy). Hỏi cơ sở sản xuất lều bạt cần ít nhất bao nhiêu $m^2$ bạt? (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị)

Một người dự định làm một bể nước bằng kính có dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp và có thể tích là $16m^3$. Biết giá của mỗi mét vuông kính là 500000 đồng và số tiền tối thiểu mua kính để làm bể nước trên là $a$ triệu đồng. Hỏi $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50 m và chiều dài 200 m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ sau:



Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường $x$) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s .

Xí nghiệp A sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là $TC=x^3-77x^2+1000x+40000$ và hàm doanh thu là $TR=-2x^2+1312x$, với $x$ là số sản phẩm sản xuất. Lợi nhuận của xí nghiệp A được xác định bằng hàm số $f(x)=TR-TC$. Số sản phẩm sản xuất bằng bao nhiêu thì xí nghiệp A đạt lợi nhuận nhiều nhất?

Câu 34: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô tả bằng hàm số $y=f(x)=\left(\frac{5000}{1+5e^{-x}}\right)$, trong đó thời gian $x$ được tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ bao nhiêu?