Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy $A$ và $B$. Máy $A$ làm việc trong $x$ ngày và cho số tiền lãi là $x^3+2x$ (triệu đồng), máy $B$ làm việc trong $y$ ngày và cho số tiền lãi là $326y-27y^3$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy $A$ trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy $A$ và $B$ không đồng thời làm việc, máy $B$ làm việc không quá 6 ngày).

Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người lái tàu muốn chở hàng về kho phải đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6km/h (xem hình vẽ dưới đây).



Khi hàng được chuyển đến kho nhanh nhất thì độ dài đoạn $BM.\sqrt{5}$ bằng bao nhiêu?

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa bên dưới, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{10}(-x^3+9x^2-15x+56)$. Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 100m (Nguồn: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-I, Cor-nelsen 2016). Trong công viên có một con đường chạy dọc theo bờ hồ có phương trình $y=-1,5x+18$. Người ta dự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Hỏi khoảng cách ngắn nhất từ bến thuyền đến con đường này là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 20)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa (đơn vị: nghìn đồng) cho bởi hàm chi phí:

$$C(x)=500-20x-3x^2+x^3.$$

Tốc độ thay đổi tức thời $C^{\prime }(x)$ của chi phí đối với số lượng $x$ mét vải lụa được sản xuất gọi là chi phí biên. Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên $C^{\prime }(x)$ xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ $x+1$.

Giả sử hộ làm nghề dệt vải lụa này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán được $x$ mét vải.

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
$$G(x)=0,035x^2(15-x),$$
trong đó $x$ là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ($x$ được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm (đơn vị miligam) cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Một thanh dầm hình hộp chữ nhật được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy bằng 19 cm sao cho thanh dầm có diện tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác định diện tích phần gỗ bỏ đi của mặt cắt ngang khúc gỗ hình trụ khi diện tích mặt cắt ngang của mỗi tấm ván đạt tối đa (theo đơn vị cm${}^2$ và *kết quả làm tròn đến hàng đơn vị*).

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ (nằm tại bờ biển là đường thẳng $AB$) đến một hòn đảo $C$, khoảng cách ngắn nhất từ đảo về bờ biển là đoạn $BC$ dài 1 km, khoảng cách từ $B$ đến $A$ là 4 km được minh họa bằng hình vẽ dưới đây.



Biết rằng mỗi km dây điện đặt dưới nước chi phí mất 5000 USD, còn đặt dưới đất chi phí mất 3000 USD. Hỏi điểm $S$ trên bờ cách $B$ bao nhiêu km để khi mắc dây điện từ $A$ qua $S$ rồi đến $C$ có chi phí là ít nhất?