Một công ty nông sản có công suất chế biến không quá $200$ tấn nguyên liệu một tháng. Nếu công ty chế biến $x$ tấn nguyên liệu trong một tháng $(1\le x\le 200)$ thì chi phí sản xuất và doanh thu lần lượt là $C(x)=0,001x^3+30x+10$ (triệu đồng) và $R(x)=60x$ (triệu đồng). Lợi nhuận lớn nhất mà công ty đạt được trong một tháng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 5. Một phân xưởng được đặt hàng sản xuất $1550$ quả bóng pickleball. Hiện tại phân xưởng đang có một số máy có thể cài đặt để mỗi máy trong $1$ giờ sản xuất tự động được $40$ quả bóng pickleball mà không cần công nhân tham gia. Chi phí nhân công cài đặt mỗi máy là $500$ nghìn đồng và vận hành hệ thống là $400$ nghìn đồng mỗi giờ. Phân xưởng nên dùng bao nhiêu máy để tiết kiệm chi phí nhân công và vận hành hệ thống nhất?

Bạn An muốn làm một hộp quà dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hộp quà luôn bằng $600{\text{ cm}}^2$. Hỏi độ dài cạnh đáy của hộp quà bằng bao nhiêu xentimét để thể tích hộp quà lớn nhất?

Câu 3. Một hộ kinh doanh mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ sản phẩm $(0<x<14)$ với tổng chi phí sản xuất được tính bởi hàm chi phí $C(x)=x^3-3x^2-19x+200$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử hộ này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $170$ nghìn đồng/kg. Hỏi hộ đó thu được lợi nhuận tối đa trong một ngày là bao nhiêu nghìn đồng?

Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp (nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là $4{\text{ dm}}^3$.

Câu 1. Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1\le x\le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí: $C(x)=x^3-3x^2-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $220$ nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa. Hãy tính lợi nhuận tối đa hộ đó thu được.

Câu 3. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$. Khoảng cách ngắn nhất từ $C$ đến $B$ là $1\text{ km}$. Khoảng cách từ $B$ đến $A$ là $4\text{ km}$. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất $13000\text{ USD}$, còn đặt dưới đất mất $12000\text{ USD}$. Hỏi điểm $S$ trên bờ cách $A$ bao nhiêu để khi mắc dây điện từ $A$ qua $S$ rồi đến $C$ là ít tốn kém nhất?

[Hình 1]