Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo thiết diện là một đường tròn. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo một đường tròn bán kính $r$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(P)$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(4;-2;4)$, $B(-2;6;4)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5\\ y=-1\\ z=t\end{array}$. Gọi $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ và $N$ là điểm di động thuộc $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MN$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-14=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$. Gọi tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất. Tính giá trị biểu thức $K=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt cầu có tâm $I(1;-2;-3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ là

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B (1; 2; 2 ) và K ( -5;8; 2 ) . Mặt cầu ( S ) đi qua
hai điểm A , B và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) tại điểm C. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng KC
bằng

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), một kiến trúc sư cần lắp đặt một đèn chiếu sáng tại vị trí $A$ cho một phòng triển lãm. Điểm $A$ thay đổi trên một khung thép hình tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+4=0$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6$. Đèn phát ra luồng sáng có dạng hình nón với góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$, trục của hình nón luôn vuông góc với mặt sàn $(P):x-2y+2z+10=0$. Để đảm bảo mật độ ánh sáng tập trung cao nhất cho khu vực trưng bày dưới sàn, kiến trúc sư cần điều chỉnh đèn đến vị trí sao cho diện tích vùng chiếu sáng trên mặt sàn $(P)$ là nhỏ nhất. Hãy tính diện tích vùng chiếu sáng nhỏ nhất đó. (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười của ${\text{m}}^2$).