Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SD=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $AB$. Thể tích khối chóp là

Vì $H$ là trung điểm $AB$ nên $AH=\frac{a}{2}$.
Trong tam giác vuông $HAD$ tại $A$:
$HD=\sqrt{A{D}^2+A{H}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Vì $SH\perp (ABCD)$ nên tam giác $SHD$ vuông tại $H$:
$SH=\sqrt{S{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{13}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{13a^2}{4}-\frac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích đáy hình vuông $ABCD$ là $S_{ABCD}=a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.
Chọn A.