Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ là:

Khối lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh $a$ nên diện tích đáy là $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Chiều cao của lăng trụ bằng cạnh bên là $h=a$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.
Chọn A.